Question

(本小题满分14分)如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面为菱形，，为的中点，。
 
（1）求证：平面;
(2) 求四棱锥的体积
（3）在线段上是否存在点，使平面；  若存在，求出的值。

Answer 1

（1）见解析；（2）；
(3)存在，当时，平面。

本试题主要是考查了空间几何体中线面的垂直问题，以及锥体的体积，和线面平行的判定综合运用。
（1）连BD，四边形ABCD菱形， ∵AD⊥AB， ∠BAD=60°
△ABD为正三角形， Q为AD中点， ∴AD⊥BQ
∵PA=PD，Q为AD的中点，AD⊥PQ 又BQ∩PQ=Q ∴AD⊥平面PQB.
（2）因为平面，那么是四棱锥的高，
利用锥体的体积公式得到。
（3）因为AQ//BC,那么结合PA//MN，得到判定定理，从而得到证明。
解：（1）连BD，四边形ABCD菱形， ∵AD⊥AB， ∠BAD=60°
△ABD为正三角形， Q为AD中点， ∴AD⊥BQ…………………………2分
∵PA=PD，Q为AD的中点，AD⊥PQ……………………………3分
又BQ∩PQ=Q ∴AD⊥平面PQB. ………………………………5分
（2）平面平面
平面平面=
平面，
所以平面…………………………………7分
是四棱锥的高，
…………………………………9分
(3)存在，当时，平面
由可得，，……………………11分
  ………………………………………………………12分
平面，平面，平面………………14分