Question

已知一条直线l经过点P（2，1），且与圆x²+y²=10相交，截得的弦长为a．
（Ⅰ）若a=2

6

，求出直线l的方程；
（Ⅱ）若a=6，求出直线l的方程；
（Ⅲ）求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出圆的圆心与半径，利用a=2

6

，垂径定理求出求出直线的斜率，即可求出直线l的方程；
（Ⅱ）按照（Ⅰ）直接解得a=6，求出直线l的方程；
（Ⅲ）利用直线与圆的位置关系直接判断求出a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）因为圆的圆心坐标（0，0），半径为：

10

，
设直线的斜率为k，所以直线方程为：y-1=k（x-2），即kx-y-2k+1=0
若a=2

6

，由垂径定理可得，(

|1-2k|

1+k2

)2=10-(

6

)2，
解得k=-

3

4

，所求直线l的方程为：3x+4y+10=0；
当直线的斜率不存在时直线的方程为：x=2，
故所求直线方程为：3x+4y+10=0或x=2
（Ⅱ）设直线的斜率为k，所以直线方程为：y-1=k（x-2），即kx-y-2k+1=0
若a=6，由垂径定理可得，(

|1-2k|

1+k2

)2=10-32，
解得k=

4

5

，或k=0，
所求直线l的方程为：4x-5y-3=0；或y=1．
（Ⅲ）因为点（2，1）在圆内，所以a的最大值为圆的直径：2

10

，
当直线与OP垂直时，a的值最小，
OP=

22+12

=

5

，所求a的值为：2

( 10 )2-( 5 )2

=2

5

．
所以a的范围是：[2

5

，

10

]．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，垂径定理的应用，考查计算能力．