Question

【题目】三棱柱中，平面平面，，点为棱的中点，点为线段上的动点.

（1）求证：；

（2）若直线与平面所成角为，求二面角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）可证面，从而可得.

（2）可证点为线段的三等分点，再过作于，过作，垂足为，则为二面角的平面角，利用解直角三角形的方法可求.也可以建立如图所示的空间直角坐标系，利用两个平面的法向量来计算二面角的平面角的余弦值，最后利用同角三角函数的基本关系式可求.

证明：（1）因为为中点，所以.

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，而平面，故，

又因为，所以，则，

又，故面，又面，所以.

（2）由（1）可得：面在面内的射影为，

则为直线与平面所成的角，即.

因为，所以，所以，所以，

即点为线段的三等分点.

解法一：过作于，则平面，

所以，过作，垂足为，

则为二面角的平面角,

因为，，，

则在中，有，

所以二面角的平面角的正切值为.

解法二：以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

设点，由得：，

即，，，点，

平面的一个法向量，

又，，

设平面的一个法向量为，

则，令，则平面的一个法向量为.

设二面角的平面角为，则，

即，所以二面角的正切值为.