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    （2012•湘潭三模）某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是
    1
    2
    ，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为
    1
    3
    ，
    1
    2
    ；若前次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为
    3
    5
    ，
    2
    5
    ，记第n次按下按钮后出现红球的概率为Pn．
    （1）求P2的值；
    （2）当n∈N*，n≥2时，
    ①求用Pn-1表示Pn的表达式；
    ②求Pn关于n的表达式．
    分析：（1）先求出第一次，第二次均出现红球，则概率为：
    1
    2
    ×
    1
    3
    ，第一次出现绿球，第二次出现红球的概率为：
    1
    2
    ×
    3
    5
    ，相加即得所求．
    （2）①设第n-1次按下按钮出现红球的概率为：Pn-1，n∈N，n≥2，可得 出现绿球的概率为：1-Pn-1 ，则由题意可得Pn=
    1
    3
    P n-1    +
    3
    5
     （1-Pn-1 ）化简求得结果．
    ②设 Pn+x=-
    4
    15
    （Pn-1+x），即 Pn=-
    4
    15
     Pn-1-
    19
    15
    x    ． 令-
    19
    15
    x    =
    3
    5
    ，解得 x=
    -9
    19
    ，故Pn-
    9
    19
    =-
    4
    15
     （Pn-1-
    9
    19
    ），故{ Pn-
    9
    19
     }是等比数列，首项等于P1-
    9
    19
    =
    1
    38
    ，公比等于-
    4
    15
    ，由此求得Pn关于n的表达式．
    解答：解：（1）P2是“第二次按下按钮后出现红球”．
    若第一次，第二次均出现红球，则概率为：
    1
    2
    ×
    1
    3
    =
    1
    6
    ，
    第一次出现绿球，第二次出现红球的概率为：
    1
    2
    ×
    3
    5
    =
    3
    10
    ，
    故所求概率为：P2=
    1
    6
    +
    3
    10
    =
    7
    15
    ．
    （2）①设第n-1次按下按钮出现红球的概率为：Pn-1，n∈N，n≥2，则出现绿球的概率为：1-Pn-1．
    若第n-1次，第n次均出现红球，其概率为：Pn-1×
    1
    3
    ，
    若第n-1次，第n次依次出现绿球，红球，其概率为：（1-Pn-1）
    3
    5
    ，
    ∴Pn=
    1
    3
    P n-1    +
    3
    5
     （1-Pn-1 ）=
    3
    5
    -
    4
    15
    Pn-1，即Pn=
    3
    5
    -
    4
    15
    Pn-1，n∈N，n≥2．
    ②设  Pn+x=-
    4
    15
    （Pn-1+x），即 Pn=-
    4
    15
     Pn-1-
    19
    15
    x    ．
    令-
    19
    15
    x    =
    3
    5
    ，解得 x=
    -9
    19
    ，∴Pn-
    9
    19
    =-
    4
    15
     （Pn-1-
    9
    19
    ），
    故{ Pn-
    9
    19
     }是等比数列，首项等于P1-
    9
    19
    =
    1
    38
    ，公比等于-
    4
    15
    ．
    ∴Pn-
    9
    19
    =
    1
    38
     (-
    4
    15
    )    n-1    ，∴Pn=
    1
    38
    (-
    4
    15
    )    n-1    +
    9
    19
    ．
    点评：本题主要考查相互独立事件的概率，互斥事件的概率加法公式的应用，等比关系的确定，等比数列的通项公式，属于中档题．
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