Question

18．如图2，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高都为2，AB=4．

    (Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD；

    (Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角；

    (Ⅲ)求点P到平面QAD的距离．

Answer 1

解法一  (Ⅰ)连结AC、BD，设AC∩BD=O．

因为P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥，

所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD．

    从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD．

    (Ⅱ)由题设知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD．

由(Ⅰ)，PQ⊥平面ABCD．故可分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，由题设条件，相关各点的坐标分别是P(0，0，2)，A(2，0，0)，Q(0，0，-2)，B(0，2,0)．

    所以=(-2，0，-2)，=(0，2，-2)．

    于是cos＜,＞=.

    从而异面直线AQ与PB所成的角是arccos.

(Ⅲ)由(Ⅱ)，点D的坐标是(0，-2，0)，=(-2，-2，0)，

=(0，0，-4)，设 =(x，y，z)是平面QAD的一个法向量，由

.

取x=1，得=(1，-1，-)．

所以点P到平面QAD的距离d==2．

解法二  (Ⅰ)取AD的中点M，连结PM，QM．

因为P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥，所以AD⊥PM，  AD⊥QM．从而AD⊥平面PQM．

又PQ平面PQM，  所以PQ⊥AD．

同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD．

(Ⅱ)连结AC、BD，设AC∩BD=O，由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P、A、Q、C四点共面．

因为OA=OC，OP=OQ，所以PAQC为平行四边形，  AQ∥PC．

从而∠BPC(或其补角)是异面直线AQ与PB所成的角．

因为PB=PC=,

所以cos∠BPC=.

从而异面直线AQ与PB所成的角是arccos.

(Ⅲ)连结OM，则OM=AB=2=PQ．

所以∠PMQ=90°，即PM⊥MQ．

由(Ⅰ)知AD⊥PM，所以PM⊥平面QAD．从而PM的长是点P到平面QAD的距离．

  在直角ΔPMO中，PM=．

  即点P到平面QAD的距离是2．