Question

（本小题满分14分）
已知函数；．
（1）当时，求函数f（x）在上的值域；
（2）若对任意，总有成立，求实数的取值范围；
（3）若（为常数），且对任意，总有成立，求M的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）在的值域为
（2）实数的取值范围为
（3）当时，M的取值范围是；
当时，M的取值范围是

解：（1）当时，
-因为f（x）在上递减，-----------------2分
所以，即f（x）在的值域为----------------4分
（法二），
，对称轴，
时为增函数，---------------2分
，f（x）在的值域为------------------4分
（2）由题意知，在上恒成立。
，    

∴在上恒成立
∴ -----------------------------5分
设，，，由得 t≥1，
设，,

（可用导数方法证明单调性：）
所以在上递减，在上递增，-------------------------------7分
在上的最大值为， 
在上的最小值为 
所以实数的取值范围为------------------------------------9分
（3），
∵ m>0 ，     
∴ 在上递减，--------------------------10分
∴   
即----------------------------------------11分
①当，即时，，
此时 ，-----------------------------------------------------------12分
②当，即时，，
此时 ，---------------------------------------------------------13分
综上所述，当时，M的取值范围是；
当时，M的取值范围是-----------------------------14分