已知
，函数
，
（其中
为自然对数的底数）．
（1）求函数
在区间
上的最小值；
（2）是否存在实数
，使曲线
在点
处的切线与
轴垂直? 若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
（1）当
时，函数
在区间
上无最小值；
当
时，函数在区间上的最小值为
；
当
时，函数在区间上的最小值为
．
（2） 不存在
，使曲线
在点
处的切线与
轴垂直
（1）解：∵
，∴
．
令
，得
．
①若，则
，在区间上单调递增，此时函数
无最小值．
②若，当
时，
，函数在区间
上单调递减，
当
时，，函数在区间
上单调递增，
所以当时，函数取得最小值．
③若，则
，函数在区间上单调递减，
所以当
时，函数取得最小值．
综上可知，当时，函数在区间上无最小值；
当时，函数在区间上的最小值为；
当时，函数在区间上的最小值为．
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ks5u
（2）解：∵
，
，
∴ 
．
由（1）可知，当
时，
．
此时在区间上的最小值为
，即
．
当，
，
，
∴
．
曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程
有实数解．
而
，即方程无实数解．
故不存在，使曲线在点处的切线与轴垂直．
同步练习强化拓展系列答案科目：高中数学 来源：2012届浙江省宁波万里国际学校高三上期中理科数学试卷（解析版） 题型：解答题
（本题满分14分）已知
，函数
，
（其中
为自然对数的底数）．
（Ⅰ）判断函数
在
上的单调性；
（II）是否存在实数
，使曲线
在点
处的切线与
轴垂直? 若存在，
求出
的值；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若实数
满足
，求证：
．
查看答案和解析>>
科目：高中数学 来源：2011-2012学年黑龙江省高三上学期期末考试文科数学试卷 题型：解答题
已知
，函数
，（其中
为自然对数的底数）．
（1）判断函数
在
上的单调性；
（2）是否存在实数
，使曲线
在点
处的切线与
轴垂直? 若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
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科目：高中数学 来源：2011-2012学年江西省高三第七次月考理科数学 题型：解答题
已知
，函数
，
（其中
为自然对数的底数）．（1）判断函数
在
上的单调性；
（2）是否存在实数
，使曲线
在点
处的切线与
轴垂直? 若存在，
求出
的值；若不存在，请说明理由．
（3）若实数
满足
，求证：
。
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科目：高中数学 来源：河北省2010年高考适应性测试数学试卷理 题型：解答题
已知
，函数
，
（其中
为自然对数的底数）．（1）判断函数
在区间
上的单调性；（2）是否存在实数
，使曲线
在点
处的切线与
轴垂直? 若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
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