Question

过点A（-1，10）且被圆x²+y²-4x-2y-20=0截得的弦长为8的直线方程是

 

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Answer 1

分析：由于所求直线过点A（-1，10），故可设出直线的点斜式方程，然后根据弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，满足勾股定理，求出k值，进而得到直线方程，但点斜式不能表示与Y轴平行的直线，故还要讨论直线斜率不存在的情况．

解答：解：圆x²+y²-4x-2y-20=0化为标准方程为（x-2）²+（y-1）²=25
当所求直线的斜率存在时，设为k，则直线方程为y-10=k（x+1），即kx-y+k+10=0
∴圆心（2，1）到直线的距离d=

|2k-1+k+10|

k2+1

=

|3k+9|

k2+1

又∵弦长为8，圆半径r=5，∴弦心距d=3，
∴

|3k+9|

k2+1

=3，
∴k=-

4

3

∴此时直线方程为4x+3y-26=0
当所求直线的斜率不存在时，方程为x+1=0，此时圆心（2，1）到直线的距离为3，弦长为8
综上所述，所求直线的方程为4x+3y-26=0或x=-1．
故答案为：4x+3y-26=0或x=-1

点评：本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，直线的一般式方程，其中在求直线方程时，要讨论一个直线斜率不存在的情况，这是本题的易忽略点．