Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）当时，求曲线经过原点的切线方程；

（Ⅱ）若在时，有恒成立，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）切线方程为：；（2）的最小值为.

【解析】

（1）先求导数，根据导数几何意义以及两点连线斜率公式列方程解得切点以及斜率，最后根据点斜式得切线方程，（2）先求最大值，再根据不等式构造函数，最后根据导数确定最值，即得结果.

（Ⅰ）当时，，

设切线与曲线相切于 ，则切线斜率为

得切线方程为，由它过原点，代入

可得，即切线方程为：．

（Ⅱ）由题知

①当时，恒有，得在上单调递增，无最值，不合题意；

②当时，由，得，在上，有，单调递增；

在上，有，单调递减；

则在取得极大值，也为最大值，

由题意恒成立，即（）

（），再令，得

知在时，，递减；知在时，，递增；

，即的最小值为．