Question

已知点，曲线上的动点满足,定点，由曲线外一点向曲线引切线，切点为，且满足.

（1）求线段长的最小值；
（2）若以为圆心所作的圆与曲线有公共点，试求半径取最小值时圆的标准方程.

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：本题主要考查圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的点乘、平面内两点间距离公式等基础知识.考查数形结合的数学思想.考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问，利用向量的点乘求出点的轨迹方程，数形结合找出，所以，然后配方法求最值；第二问，利用两圆的位置关系列出不等式，用配方法求最值，得到圆心和半径，写出圆的标准方程.
试题解析：（Ⅰ）设，则，
∴，
即点轨迹(曲线)方程为，即曲线是．     2分
连∵为切点，，由勾股定理有：．
又由已知，故．
即：，
化简得实数间满足的等量关系为：，即．（4分）
∴＝，
故当时，即线段长的最小值为     7分
（另法）由点在直线：上．
∴，即求点到直线的距离．
∴（7分）
（Ⅱ）设的半径为，∵与有公共点，的半径为1，
即且．    8分
而，       9分
故当时，．      10分
此时,．    11分
得半径取最小值时的标准方程为．    13分
（另法）与有公共点，半径最小时为与外切（取小者）的情形，而这些半径的最小值为圆心到直线的距离减去1，圆心为过原点与垂直的直线与的交点．
．
又，（10分）
解方程组，得．即，
∴所求标准方程为．（13分）