Question

三棱锥P—ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3.

(1)求证:AB⊥BC；

(2)如果AB=BC=，求侧面PBC与侧面PAC所成二面角的大小.

Answer 1

(1)证明:如图，取AC的中点D，连结PD、BD.

因为PA=PC，所以PD⊥AC.

又已知面PAC⊥面ABC，所以PD⊥面ABC，D为垂足.

因为PA=PB=PC，

所以DA=DB=DC.可知AC为△ABC的外接圆直径，因此AB⊥BC.

(2)解:

因为AB=BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.

又面PAC⊥面ABC，所以BD⊥平面PAC，D为垂足.

作BE⊥PC于点E，连结DE，

因为DE为BE在平面PAC内的射影，

所以DE⊥PC，∠BED为所求二面角的平面角.

在Rt△ABC中，AB=BC=，所以BD=.

在Rt△PDC中，PC=3，DC=，PD=，

所以DE=.

因此，在Rt△BDE中，tan∠BED==,∠BED=60°,

所以侧面PBC与侧面PAC所成的二面角为60°.