Question

【题目】如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上， ， 交于，

(1)证明: ；

(2) 求平面与所成的锐角二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】试题分析：(1)先利用线面垂直的性质和判定得到线线垂直和线面垂直，再根据直径所对的圆周角为直角和线面垂直的性质、等腰直角三角形得到线线垂直，进而利用线面垂直的判定定理进行证明；(2)根据垂直关系建立适当的空间直角坐标系，写出相关点坐标，求出有关平面的法向量，再利用有关公式进行求解 .

试题解析：（1）证明：∵EA⊥平面ABC，BM平面ABC，∴EA⊥BM．

又∵BM⊥AC，EA∩AC=A，∴BM⊥平面ACFE，

而EM平面ACFE，∴BM⊥EM．∵AC是圆O的直径，∴∠ABC=90°．

又∵∠BAC=30°，AC=4，∴AB=，BC=2，AM=3，CM=1．

∵EA⊥平面ABC，FC‖EA， ∴FC⊥平面ABCD．

∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形．

∴∠EMA=∠FMC=45°．∴∠EMF=90°，即EM⊥MF（也可由勾股定理证得）．

∵MF∩BM=M，∴EM⊥平面MBF．

而BF平面MBF，∴EM⊥BF．

（2）解法一：延长EF交AC于G，连BG，过C作CH⊥BG，连接FH．

由（1）知FC⊥平面ABC，BG平面ABC，∴FC⊥BG．

而FC∩CH=C，∴BG⊥平面FCH．∵FH平面FCH，∴FH⊥BG，

∴∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角．

在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AC=4，

∴BM=ABsin=．

由．

∵与相似， ,

∴△FCH是等腰直角三角形，∠FHCspan>=45°．∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为

解法二：如图：以A为坐标原点，AC、AE分别为y轴和Z轴建立空间直角坐标系,

由已知得, ,

设平面的法向量为，

由 得

令，由得平面ABC的一个法向量为

设平面与所成的锐角二面角为，

则

所以，平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为.