Question

如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．

(1)现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

(2)若使每问虎笼面积为，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？

Answer 1

答案：略
解析：

解：(1)设每间虎笼长x m，宽为y m，则由条件知：4x＋6y=36，即2x＋3y=18． 设每间虎笼面积为S，则S=xy． 方法1：由于， ∴，得， 即，当且仅当2x=3y时，等号成立． 由解得 故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使面积最大． 方法2：由2x＋3y=18，得． ∵x＞0，∴0＜y＜6， ． ∵0＜y＜6，∴6－y＞0， ∴． 当且仅当6－y=y，即y=3时，等号成立，此时x=4.5． 故每间虎笼长4.5m，宽3m时，可使面积最大． (2)由条件知S=xy=24． 设钢筋网总长为l，则l=4x＋6y． 方法1：∵， ∴l=4x＋6y=2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x=3y时，等号成立． 由解得 故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小． 方法2：由xy=24，得． ∴． 当且仅当，即y=4时，等号成立，此时x=6． 故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小． 设每间虎笼长x m，宽y m，则问题(1)是在4x＋6y=36的前提下求xy的最大值；而问题(2)则是在xy=24的前提下求4x＋6y的最小值．因此，使用极值定理解决．

提示：

设每间虎笼长x m，宽y m，则问题(1)是在4x＋6y=36的前提下求xy的最大值；而问题(2)则是在xy=24的前提下求4x＋6y的最小值．因此，使用极值定理解决． 在使用极值定理，求函数的最大值或最小值时要注意：①x，y都是正数；②积xy(或和x＋y)为定值；③x与y必须能够相等，特别情况下，还要根据条件构造满足上述三个条件的结论．