Question

在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，AB⊥BC，CD⊥BD，如图1．把△ABD沿BD翻折，使得平面A′BD⊥平面BCD，如图2．

（Ⅰ）求证：CD⊥A′B；
（Ⅱ）求三棱锥A′-BDC的体积；
（Ⅲ）在线段BC上是否存在点N，使得A′N⊥BD？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

满分（12分）．
解：（Ⅰ）∵平面A'BD⊥平面BCD，平面A'BD∩平面BCD=BD，CD⊥BD
∴CD⊥平面A'BD，…（2分）
又∵AB?平面A'BD，∴CD⊥A'B． …（4分）
（Ⅱ）如图（1）在．
∵AD∥BC，∴∠ADB=DBC=30°．
在．
∴．…（6分）
如图（2），在Rt△A'BD中，过点A'做A'E⊥BD于E，∴A'E⊥平面BCD．
∵，…（7分）
∴．…（8分）
（Ⅲ）在线段BC上存在点N，使得A'N⊥BD，理由如下：
如图（2）在Rt△A'EB中，，
∴，…（9分）
过点E做EN∥DC交BC于点N，则，
∵CD⊥BD，∴EN⊥BD，…（10分）
又A'E⊥BD，A'E∩EN=E，∴BD⊥平面A'EN，
又A'N?平面A'EN，∴A'N⊥BD．
∴在线段BC上存在点N，使得A'N⊥BD，此时．…（12分）
分析：（Ⅰ）通过已知条件证明CD⊥平面A'BD，然后证明CD⊥A'B．
（Ⅱ）在Rt△ABD中，推出∠ADB=DBC=30°．求出S_△BDC，在Rt△A'BD中，过点A'做A'E⊥BD于E，说明A'E⊥平面BCD．说明是几何体的高，即可求解．
（Ⅲ）在线段BC上存在点N，使得A'N⊥BD，过点E做EN∥DC交BC于点N，推出EN⊥BD，说明BD⊥平面A'EN，A'N⊥BD．即可证明在线段BC上存在点N，使得A'N⊥BD．
点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、棱锥体积公式等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想．