Question

【题目】各项为正数的数列{an}的前n项和为Sn ， 且满足：Sn= an2+ an+ （n∈N*）
（1）求an
（2）设数列{ }的前n项和为Tn ， 证明：对一切正整数n，都有Tn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，

当n=1时， ，解得a1=1．

当n≥2时， ；

∴an=Sn﹣Sn﹣1= + an﹣ an﹣12﹣ an﹣1．

整理得：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，

又∵数列{an}各项为正数，∴当n≥2时，an﹣an﹣1=2，

故数列{an}为首项为1，公差为2的等差数列．

∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．

（2）证明：可知Tn= =

∵ ，

∴

=

=1+ ﹣ ＜

【解析】（1）分别把n=1和n=n﹣1代入条件式计算a1和递推公式，得出{an}为等差数列，从而得出通项公式；（2） = ＜ ，再使用列项求和得出结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．