Question

【题目】圆与轴交于、两点，为圆上一点.椭圆以、为焦点且过点.

（Ⅰ）当点坐标为时，求的值及椭圆方程；

（Ⅱ）若直线与（Ⅰ）中所求的椭圆交于、不同的两点，且点，，求直线在轴上截距的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），椭圆方程为；（Ⅱ）当时，直线在轴上的截距的取值范围是；当时，直线在轴上的截距的取值范围是.

.

【解析】

（Ⅰ）由圆与轴的交点为得椭圆的焦距，从而椭圆方程化为，将代入圆，能求出，从而，由此能求出，进而能求出椭圆方程.

（Ⅱ）由，得点在线段的中垂线上，当时，与椭圆交于两点都满足题意，从而；当时，设，，中点，由，得，由，得，再利用点差法能求出结果.

（Ⅰ）由圆与轴的交点为得椭圆的焦距

椭圆方程化为……①

将代入圆，得

代入①式，得

解得

椭圆方程为

（Ⅱ）由，得点应该在线段的中垂线上

当时，与椭圆交于两点都满足题意

当时，设，，中点

由，消得

由，得……②

由，作差，得

由，及，得……③

……④

由③④得，代入中，得……⑤

将⑤式代入②式，得

由⑤得，得

的取值范围是

综上，当时，直线在轴上的截距的取值范围是；

当时，直线在轴上的截距的取值范围是.