Question

（2010•南京模拟）设a，b，c为正实数，求证：a³+b³+c³+

1

abc

≥2

3

．

Answer 1

分析：由条件可得 a³+b³+c³≥3

3	a3b3c3

=3abc＞0，再由3abc+

1

abc

≥2=2

3

，从而得到a³+b³+c³+

1

abc

≥2

3

．

解答：证明：因为a，b，c为正实数，所以a³+b³+c³≥3

3	a3b3c3

=3abc＞0，当且仅当a=b=c时，等号成立．…（5分）
又3abc+

1

abc

≥2

3

，当且仅当 3abc=

1

abc

时，等号成立．
所以，a³+b³+c³+

1

abc

≥2

3

．…（10分）

点评：本题主要考查基本不等式的应用，不等式的基本性质，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件．