Question

已知集合A={x|ax²+2x+3=0，a∈R，x∈R}．B={x|x²-2x-3=0}，
（1）若A中只有一个元素，求a的值，并求出这个元素；
（2）若A∩B=A，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）分两种情况讨论：当a=0时，适合题意；当a≠0时，由△=0，得出a的值及这个元素；
（2）先由A∩B=A得A⊆B，再分类讨论：A=∅，A∩B=A成立；当A中只有一个元素时，；当A中只有二个元素时，最后综上所得．

解答：解：（1）当a=0时，A={x|2x+3=0，x∈R}={-

3

2

}，适合题意；
当a≠0时，△=4-12a=0，得a=

1

3

，A={-3}．故所求a的值为0这个元素为-

3

2

，或

1

3

这个元素是-3．
（2）B={-1，3}，由A∩B=A得A⊆B，
当△=4-12a＜0，即a＞

1

3

时，A=∅，A∩B=A成立；
当A中只有一个元素时，由（1）可知A⊆B不成立；
当A中只有二个元素时，A=B={-1，3}，故-1+3=-

1

a

，解得a=-1．
综上所述，所求a的值为a＞

1

3

或a=-1．

点评：本题属于以一元二次方程为依托，求元素与集合关系的判断、集合的包含关系判断及应用的基础题，也是高考常会考的题型．