Question

（理科）如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，|AB|=，|CD|=2-，AC⊥BD，M为CD的中点．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）过M作AB的垂线，垂足为N，若存在正常数λ₀，使=λ₀，且P点到A、B 的距离和为定值，
（3）过（0，）的直线与轨迹E交于P、Q两点，且•=0，求此直线方程．求点P的轨迹E的方程．

Answer 1

解：（1）设点M的坐标为M（x，y）（x≠0），则 C（x，y-1+），D（x，y+1-）
∵A（0，），B（0，-），AC⊥BD
∴，即（x，y-1）•（x，y+1）=0，
∴x²+y²=1（x≠0）．
（2）设P（x，y），则M（（1+λ₀）x，y），代入M的轨迹方程（1+λ₀）² x²+y²=1（x≠0）
∴P的轨迹方程为椭圆（除去长轴的两个端点）．
要P到A、B的距离之和为定值，则以A、B为焦点，故1+=，
∴λ₀=2
从而所求P的轨迹方程为9x²+y²=1（x≠0）．
（3）l的斜率存在，设方程为y=kx+，代入椭圆方程可得（9+k²）x²+kx-=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=-，x₁x₂=-
∵•=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
整理，得
∴k=±
即所求l的方程为
分析：（1）设点M的坐标为M（x，y）（x≠0），则 C（x，y-1+），D（x，y+1-），利用AC⊥BD，即，可得轨迹方程；
（2）确定P的轨迹方程为椭圆（除去长轴的两个端点），要P到A、B的距离之和为定值，则以A、B为焦点，故1+=，从而可得所求P的轨迹方程；
（3）易知l的斜率存在，设方程为y=kx+代入椭圆方程，利用•=0，即可求得结论．
点评：本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．