Question

【题目】如图，在几何体中，，，平面平面，，，，为的中点.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）取中点，连接，，由几何关系可证得四边形是平行四边形，则，结合线面平行的判断定理可得平面；

（Ⅱ）结合几何关系，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，由题意可得直线AB的方向向量为，设平面的法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为.

试题解析：

（Ⅰ）取中点，连接，，

又∵为的中点，，，

∴，且，

∴四边形是平行四边形，

∴，

而且平面，平面，

∴平面；

（Ⅱ）∵，平面平面，且交于，

∴平面，

由（Ⅰ）知，∴平面，

又∵，为中点，

∴，

如图，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

∴，，，

设平面的法向量为，则

，即，

令，得，

∴直线与平面所成角的正弦值为.