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    （2007•杨浦区二模）如图，某小区准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余地方种花．若BC=a，∠ABC=θ，设△ABC的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2，将比值
    S1S2
    称为“规划合理度”．
    （1）试用a，θ表示S1和S2．
    （2）（理）当a为定值，θ变化时，求“规划合理度”取得最小值时的角θ的大小．
    （3）（文）当a为定值，θ=150时，求“规划合理度”的值．
    分析：（1）据题知三角形ABC为直角三角形，根据三角函数分别求出AC和AB，求出三角形ABC的面积S1；设正方形PQRS的边长为x，利用三角函数分别表示出BQ和RC，利用BQ+QR+RC=a列出方程求出x，算出S2；
    （2）由比值
    S1
    S2
    称为“规划合理度”，可设t=sin2θ来化简求出S1与S2的比值，利用三角函数的增减性求出比值的最小值即可求出此时的θ．
    （3）将θ=15°代入两面积的函数解析式，然后求出两面积的比值即可得到“规划合理度”的值．
    解答：解：（1）在Rt△ABC中，AB=acosθ，AC=asinθ，S1=
    1
    2
    AB•AC=
    1
    2
    a2sinθcosθ    （3分）
    设正方形的边长为x则 BP=
    x
    sinθ
    ，AP=xcosθ    ，
    由BP+AP=AB，得
    x
    sinθ
    +xcosθ=acosθ    ，故 x=
    asinθcosθ
    1+sinθcosθ

    所以 S2=x2=(
    asinθcosθ
    1+sinθcosθ
    )2    （6分）
    （2）
    S1
    S2
    =
    1
    2
    •
    (1+sinθcosθ)2
    sinθcosθ
    =
    (1+
    1
    2
    sin2θ)    2
    sin2θ
    =
    1
    sin2θ
    +
    1
    4
    sin2θ+1    ，（8分）
    令t=sin2θ，因为 0＜θ＜
    π
    2
    ，
    所以0＜2θ＜π，则t=sin2θ∈（0，1]（10分）
    所以
    S1
    S2
    =
    1
    t
    +
    1
    4
    t+1=g(t)    ，g′(t)=-
    1
    t2
    +
    1
    4
    ＜0    ，
    所以函数g（t）在（0，1]上递减，（11分）
    因此当t=1时g（t）有最小值 g(t)min=g(1)=
    9
    4
    ，
    此时 sin2θ=1，θ=
    π
    4

    所以当 θ=
    π
    4
    时，“规划合理度”最小，最小值为
    9
    4
    ．（12分）
    （3）θ=150时，S1=
    1
    4
    a2sin30°=
    1
    8
    a2    ，S2=(
    asin30°
    2+sin30°
    )    2    =
    a2
    25
    ，（12分）
    所以，
    S1
    S2
    =
    25
    8
    （14分）
    点评：考查学生会根据实际问题选择合适的函数关系的能力，以及在实际问题中建立三角函数模型的能力，属于中档题．
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    5
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    1
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    		10
    10
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    3
    		10
    10
    ．
    ．

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