Question

已知函数f(x)=ax+

b

x

+c(a，b，c∈R)满足f（-1）=0，且对任意x＞0都有1≤f(x)≤

1+x2

2x

．
（1）求f（1）的值；
（2）求a，b，c的值；
（3）若g(x)=f(x)-

x

4m

在（0，2]上是减函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对1≤f(x)≤

1+x2

2x

赋值x=1，则可求；
（2）由f（-1）=0，f（1）=1，建立方程组，再借助于对任意x＞0都有1≤f(x)≤

1+x2

2x

，从而问题得解；
（3）利用单调性的定义，设0＜x₁＜x₂≤2可有g(x1)-g(x2)=

1

4

(x1-x2)

x1x2-(1-m)

x1x2

＞0，从而1-m＞x₁x₂恒成立，而0＜x₁x₂＜4，所以1-m≥4，故可求实数m的取值范围．

解答：解：（1）由1≤f(x)≤

1+x2

2x

，令x=1，得1≤f（x）≤1，∴f（1）=1．
（2）由f（-1）=0，f（1）=1，得

-a-b+c=0 a+b+c=1

?

c= 1 2 a+b= 1 2

．
当x≥0时，1≤f(x)≤

1+x2

2x

?ax+

b

x

+

1

2

≤

1+x2

2x

?2ax2+x+2b≤1+x2
①②?

2ax2-x+b≥0 (2a-1)x2+x+2b-1≤0

?

2ax2-x+(1-2a)≥0 (2a-1)x2+x-2a≤0

由①式a≤0显然不成立，∴a＞0，∵Q（x）=2ax²-x+（1-2a）的图象的对称轴为x=

1

4a

＞0，
∴△=1-8a（1-2a）≤0，即（4a-1）²≤0，∴a=

1

4

，
从而b=

1

4

，而此时②式为（x-1）²≥0，∴a=b=

1

4

，c=

1

2

．
（3）g(x)=

x

4

+

1

4x

+

1

2

-

m

4x

=

1

4

(x+

1-m

x

)+

1

2

，设0＜x₁＜x₂≤2，则g(x1)-g(x2)=

1

4

(x1-x2)

x1x2-(1-m)

x1x2

＞0，∵x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴x₁x₂-（1-m）＜0，即1-m＞x₁x₂恒成立，而0＜x₁x₂＜4，∴1-m≥4，
∴m≤-3．

点评：本题主要考查函数解析式的求解，考查恒成立的处理，采用了赋值法，属于中档题．