Question

如图，正方体AC₁的棱长为a，求：?

(1)A₁A与BC所成的角与距离；

(2)A₁A与B₁C所成的角与距离；

(3)AD₁与B₁C所成的角与距离；

(4)BD₁与AC所成的角；

(5)AD₁与BD所成的角与距离；

(6)若E、F分别为AB、BC的中点，则D₁E和B₁F所成的角的大小.

Answer 1

解析：(1)∵BC∥AD，?

∴∠A₁AD或其补角即为A₁A与BC所成的角.?

在立方体中易知∠A₁AD=90°.?

∴A₁A与BC所成的角为90°.?

由AB⊥A₁A，AB⊥BC，?

∴AB=a,即为A₁A与BC的距离.?

 (2)∵BB₁∥AA₁,?

∴∠BB₁C或其补角即为A₁A与B₁C所成的角.?

在立方体中易知∠BB₁C=45°.?

∴A₁A与BC所成的角为45°.?

由A₁B₁⊥A₁A，A₁B₁⊥B₁C，?

∴A₁B₁=a，即为A₁A与BC的距离.?

 (3)连结BC₁交B₁C于F，则BC₁∥AD₁.?

∴∠BFC或其补角即为AD₁与B₁C所成的角，在立方体中易知∠BFC=90°.?

∴A₁A与BC所成的角为90°.?

取AD₁的中点E，连结EF.?

则EF∥AB，而AB⊥AD₁，?

∴EF⊥AD₁.?

同理可得EF⊥B₁C.?

∴EF即为AD₁与B₁C的距离.?

由EF=AB=a，?

∴AD₁与B₁C的距离为a.?

 (4)延长DA到N，使DA=AN，连结BN、D₁N，则BN∥AC.?

∴∠D₁BN或其补角即为BD₁与AC所成的角.?

∵棱长为a，∴BN=AC=2a,D₁N=5a,D₁B=3a.?

由勾股定理可得∠D₁BN=90°.?

∴BD₁与AC所成角为90°.?

(5)连结B₁D₁、AB₁，则BD∥B₁D₁.?

 

∴∠AD₁B₁或其补角即为AD₁与BD所成角.?

在立方体中易知△AB₁D₁为等边三角形.?

∴∠AD₁B₁=60°.

∴AD₁与BD所成角为60°.?

取AD的中点M，连结A₁M交AD₁于H，连结CM交BD于G，连结GH、A₁C.则GH∥A₁C且GH=.

由上题可知A₁C⊥BD，A₁C⊥AD₁.?

GH即为AD₁与BD的距离.?

通过计算得GH =.?

∴AD₁与BD所成角与距离分别为60°,.?

   (6)延长AD到G，使DG=，连结D₁G、GE，则D₁G∥B₁F.?

∴∠ED₁G或其补角即为D₁E与B₁F所成角.?

在△ED₁G中，D₁G=,?EG=,D₁E=

cos∠ED₁G=.?

∴D₁E与B₁F所成角为arccos.