Question

【题目】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，焦距为2，且经过点，斜率为的直线经过点，与椭圆交于，两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）在轴上是否存在点，使得以，为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围，如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；实数的取值范围是

【解析】

（1）根据椭圆定义计算，再根据，，的关系计算即可得出椭圆方程；（2）设直线方程为，与椭圆方程联立方程组，求出的范围，根据根与系数的关系求出的中点坐标，求出的中垂线与轴的交点横，得出关于的函数，利用基本不等式得出的范围．

（1）由题意可知，，．

又，

，，

椭圆的方程为：．

（2）若存在点，使得以，为邻边的平行四边形是菱形，

则为线段的中垂线与轴的交点．

设直线的方程为：，，，，，

联立方程组，消元得：，

△，又，故．

由根与系数的关系可得，设的中点为，，

则，，

线段的中垂线方程为：，

令可得，即．

，故，当且仅当即时取等号，

，且．

的取值范围是，．