Question

【题目】已知函数

（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；

（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，

（Ⅲ）如果，且，证明

Answer 1

【答案】（Ⅰ）f(x)在()内是增函数，在()内是减函数．函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)= （Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析

【解析】

（Ⅰ）解：f’

令f’(x)=0,解得x=1

当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表

X	()	1	()
f’(x)	+	0	-
f(x)		极大值

所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数．

函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=

（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)

令F(x)=f(x)-g(x),即

于是

当x>1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数．

又F(1)=0，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).

（Ⅲ）证明：（1）

若

（2）若

根据（1）（2）得

由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以>,即>2.