Question

已知函数f（x）=x，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数．
（1）求λ的最大值；
（2）若g（x）＜t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意由于f（x）=x，所以函数g（x）=λf（x）+sinx=λx+sinx，又因为该函数在区间[-1，1]上的减函数，所以可以得到λ的范围；
（2）由于g（x）＜t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立?[g（x）]_max=g（-1）=-λ-sinl，解出即可；

解答：解：（1）∵f（x）=x，
∴g（x）=λx+sinx，
∵g（x）在[-1，1]上单调递减，
∴g'（x）=λ+cosx≤0
∴λ≤-cosx在[-1，1]上恒成立，λ≤-1，故λ的最大值为-1．
（2）由题意[g（x）]_max=g（-1）=-λ-sinl
∴只需-λ-sinl＜t²+λt+1
∴（t+1）λ+t²+sin+1＞0（其中λ≤-1），恒成立，
令h（λ）=（t+1）λ+t²+sin1+1＞0（λ≤-1），
则

t+1＜0 -t-1+t2+sin1+1＞0

，
∴

t＜-1 t2-t+sin1＞0

，而t²-t+sin1＞0恒成立，
∴t＜-1
又t=-1时-λ-sinl＜t²+λt+1
故t的取值范围：t≤-1

点评：此题考查了导函数，利用导函数求解恒成立问题，还考查了函数恒成立问题，二次函数的恒成立问题分两类，一是大于0恒成立须满足开口向上，且判别式小于0，二是小于0恒成立须满足开口向下，且判别式小于0．