Question

已知半径为6的圆C与x轴相切，圆心C在直线3x+y=0上且在第二象限，直线l过点P（2，14）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l与圆C相交于A、B两点且|AB|=4

5

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）设圆心，利用圆C与x轴相切则圆心到直线的距离等于半径建立等式，即可求出圆心，从而求出所求；
（II）设l的方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，利用弦长的一半、半径和圆心到直线的距离构成直角三角形，建立等式，从而可求出直线方程．

解答：解：（I）由题意，设圆心C（m，-3m）（m＜0）圆C的半径r=6，
又圆C和x轴相切，则r=6=|-3m|
即m=±2，所以m=-2，所以圆C的方程为（x+2）²+（y-6）²=36
（II）设l方程为y-14=k（x-2），由d=

|4k-8|

k2+1

=

62-(2 5 )2

=4
∴k=

3

4

又l方程为x=2时也符合题意，故所求直线方程l的方程为x=2或3x-4y+50=0

点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及圆的方程和直线方程，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．