Question

已知数列{a_n}是等差数列，a₁=1，a₁+a₂+…+a₂₀=590
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）设数列{b_n}的通项bn=loga(

an+1

an

)（其中a＞0，且a≠1），记S_n是数列{b_n}的前n项和．试比较S_n与

1

3

logaan+1的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）设数列{a_n}的公差为d，由题意得

a1=1 10a1+ 10(10-1) 2 d=590.

，解之可得首项和公差，可得通项公式；
（2）可得S_n=log_a[（1+1）（1+

1

4

）…（1+

1

3n-2

）]，

1

3

logaan+1=loga

3	3n+1

，问题转化为比较（1+1）（1+

1

4

）…（1+

1

3n-2

）与

3	3n+1

，推测（1+1）（1+

1

4

）…（1+

1

3n-2

）＞

3	3n+1

，下面由数学归纳法证明，可得最后结论．

解答：解：（1）设数列{a_n}的公差为d，由题意得

a1=1 10a1+ 10(10-1) 2 d=590.

解得

a1=1 d=3.

，所以a_n=3n-2．
（2）．由a_n=3n-2，bn=loga

an+1

an

，
知S_n=log_a（1+1）+log_a（1+

1

4

）+…+log_a（1+

1

3n-2

）
=log_a[（1+1）（1+

1

4

）…（1+

1

3n-2

）]，

1

3

logaan+1=

1

3

loga(3n+1)=loga

3	3n+1

要比较S_n与

1

3

log_aa_n+1的大小，先比较（1+1）（1+

1

4

）…（1+

1

3n-2

）与

3	3n+1

取n=1有（1+1）＞

3	3•1+1

，取n=2有（1+1）（1+

1

4

）＞

3	3•2+1

，…，
由此推测（1+1）（1+

1

4

）…（1+

1

3n-2

）＞

3	3n+1

．              ①
若①式成立，则由对数函数性质可断定：当a＞1时，S_n＞

1

3

log_aa_n+1；当0＜a＜1时，S_n＜

1

3

log_aa_n+1
下面用数学归纳法证明①式．
（ⅰ）当n=1时已验证①式成立．
（ⅱ）假设当n=k（k≥1）时，①式成立，即（1+1）（1+

1

4

）…（1+

1

3k-2

）＞

3	3k+1

．
那么，当n=k+1时，（1+1）（1+

1

4

）…（1+

1

3k-2

）（1+

1

3(k+1)-2

）＞

3	3k+1

（1+

1

3k+1

）=

3 3k+1

3k+1

（3k+2）．
因为[

3 3k+1

3k+1

(3k+2)]3-[

3	3k+4

]3=

(3k+2)3-(3k+4)(3k+1)2

(3k+1)2

=

9k+4

(3k+1)2

＞0，
所以

3 3k+1

3k+1

（3k+2）＞

3	3k+4

=

3	3(k+1)+1

．
因而（1+1）（1+

1

4

）…（1+

1

3k-2

）（1+

1

3k+1

）＞

3	3(k+1)+1

．
这就是说①式当n=k+1时也成立．
由（ⅰ），（ⅱ）知①式对任何正整数n都成立．由此证得：
当a＞1时，S_n＞

1

3

log_aa_n+1；当0＜a＜1时，S_n＜

1

3

log_aa_n+1
由于①等价于k＜g（α），k∈Z
∴k的最大值为2

点评：本题考查等差数列的通项公式，涉及数学归纳法的应用，属中档题．