Question

（本题16分）

 如图，有一块抛物线形状的钢板，计划将此钢板切割成等腰梯形 的形状，使得都落在抛物线上，点关于抛物线的轴对称，且，抛物线的顶点到底边的距离是，记，梯形面积为．

（1）以抛物线的顶点为坐标原点，其对称轴为轴建立坐标系，使抛物线开口向下，求出该抛物线的方程；

（2）求面积关于的函数解析式，并写出其定义域；

（3）求面积的最大值．

                                

Answer 1

解（1）以抛物线的顶点为坐标原点，其对称轴为轴建立坐标系，

设抛物线方程为：，

由图得抛物线过点，代入求得，

所以外轮廓线所在抛物线的方程：         ………………………5分

（2）设，，代入抛物线方程得，故梯形的高为  =      …………………9分

又由 解得

其定义域为                                ………………………10分

（3），

令，解得                                  -------------------12分

当时函数在该区间递增，

当时函数在该区间递减，           ………………………14分

所以当时函数取得最大值，          ………………………16分