Question

【题目】设函数.

（1）求的极值；

（2）证明：.

Answer 1

【答案】（1）函数的极小值为，无极大值；（2）详见解析.

【解析】

（1）利用导数对函数的单调性进行分析，可得当时，取得极小值，且极小值为，无极大值．（2）方法一：将不等式变形为，然后构造函数，通过分析判断函数的单调性进行证明即可．方法二：令，则由可得单调递增，故得，然后再证明即可．

（1）因为，

所以，

因为，

所以在上单调递增，

又，

所以当，单调递减；当，单调递增．

所以当时，取得极小值，且极小值为，无极大值．

（2）法一：的定义域为，

要证，

只需证，

只需证．

令，

则 ，

因为，

所以当时，单调递减；当时，单调递增．

所以，即，

故当时，.

法二：令，

当时，，

要证，

只需证，

令，

则，

当时，单调递减；当时，单调递增．

所以，即，

所以．

故当时，．

法三：的定义域为．

令，

因为，由得；由，得；

所以在上单调递减，上单调递增，

所以，即．

要证

只需证，

只需证，

只需证．

令，

则，

因为，

所以当时，单调递减；当时，单调递增，

所以，即.

故时，.