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    一动圆与圆外切，与圆内切.

    (I)求动圆圆心M的轨迹方程．(II)试探究圆心M的轨迹上是否存在点，使直线与的斜率？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）

     

    【答案】

    (I)  (II) 圆心M的轨迹上存在四个点，使直线与的斜率.

     【解析】解：（1）设动圆圆心为，半径为．

    由题意，得，，                        (1分)

    , 由椭圆定义知在以为焦点的椭圆上，    (3分)

    且，．                (5分)

    动圆圆心M的轨迹方程为．          (6分)

    (II) 由（I）知动圆圆心M的轨迹是椭圆，它的两个焦点坐标分别为和 (7分)                                         

    设是椭圆上的点，由得      (9分)

    即，这是实轴在轴，顶点是椭圆的两个焦点的双曲线，它与椭圆的交点即为点P。由于双曲线的两个顶点在椭圆内，根据椭圆和双曲线的对称性可知，它们必有四个交点.

    即圆心M的轨迹上存在四个点，使直线与的斜率.    (12分)

     

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