Question

（1）A、B、C为斜三角形ABC的三个内角，tanA+tanB+1=tanAtanB．求角C；
（2）若tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ，求α，β，γ之间的一个等量关系式．

Answer 1

解：（1）∵tanA+tanB=-（1-tanAtanB），
∴=1，
又∵0＜C＜π，∴C=；
（2）tanα+tanβ=-tanγ（1-tanα•tanβ），
∴-tanγ=，
∴tan（-γ）=tan（α+β），
则-γ=α+β+kπ，k∈Z，即α+β+γ=kπ（k∈Z的任何一个等式 ）．
分析：（1）先根据三角形的内角和定理得C=π-（A+B），利用诱导公式tan（π-α）=-tanα及两角和与差的正切函数公式化简后，将已知的等式代入求出tanC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）把已知的等式变形，表示出tanα+tanβ，等式两边同时除以1-tanαtanβ，利用两角和与差的正切函数公式及正切函数为奇函数化简后，即可得到α，β，γ之间的一个等量关系式．
点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，诱导公式，正切函数的奇偶性，以及正切函数的图象与性质，熟练掌握公式是解本题的关键．