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设 $数学公式$ ，函数f（x）的定义域为[0，1]且f（0）=0，f（1）=1当x≥y时有f（ $数学公式$ ）=f（x）sinα+（1-sinα）f（y）．（1）求f（ $数学公式$ ），f（ $数学公式$ ）；
（2）求α的值；
（3）求函数g（x）=sin（α-2x）的单调区间．

解：（1）f（ $\text{[math]}$ ）=f（ $\text{[math]}$ ）=f（1）sinα+（1-sinα）f（0）=sin α．
f（ $\text{[math]}$ ）=f（ $\text{[math]}$ ）=f（ $\text{[math]}$ ）sinα+（1-sinα）f（0）=sin²α．
（2）∵f（ $\text{[math]}$ ）=f（ $\text{[math]}$ ）=f（1）sinα+（1-sinα）f（ $\text{[math]}$ ）=sinα+（1-sinα）sinα=2sinα-sin²α．
f（ $\text{[math]}$ ）=f（ $\text{[math]}$ ）=f（ $\text{[math]}$ ）sinα+（1-sinα）f（ $\text{[math]}$ ）=（2sinα-sin²α ）sinα+（1-sinα）sin²α=3sin²α-2sin³α，
∴sinα=3sin²α-2sin³α，解得sin α=0，或 sin α=1，或 sin α= $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ，∴sin α= $\text{[math]}$ ，α= $\text{[math]}$ ．
（3）函数g（x）=sin（α-2x）=sin（ $\text{[math]}$ -2x）=-sin（2x- $\text{[math]}$ ），令 2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，可得 kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，
故函数g（x）的减区间为[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈z．
令 2kπ+ $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，可得 kπ+ $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，故函数g（x）的增区间为[kπ+ $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈z．
分析：（1）根据f（ $\text{[math]}$ ）=f（ $\text{[math]}$ ）=f（1）sinα+（1-sinα）f（0），运算求得结果，再根据f（ $\text{[math]}$ ）=f（ $\text{[math]}$ ）=f（ $\text{[math]}$ ）sinα+（1-sinα）f（0），运算求得结果．
（2）求出f（ $\text{[math]}$ ）=f（ $\text{[math]}$ ）=f（1）sinα+（1-sinα）f（ $\text{[math]}$ ）=2sinα-sin²α．同理求得f（ $\text{[math]}$ ）=3sin²α-2sin³α，再由sinα=3sin²α-2sin³α，解得sin α的值，从而求得α的值．
（3）化简函数g（x）=sin（α-2x）=-sin（2x- $\text{[math]}$ ），令 2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，求得x的范围，即可得到g（x）的减区间．令 2kπ+ $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，
求得x的范围，即可得到g（x）的增区间．
点评：本题主要考查抽象函数的应用，复合三角函数的单调性，属于中档题．

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