Question

【题目】已知奇函数与偶函数均为定义在上的函数，并满足

（1）求的解析式；

（2）设函数

①判断的单调性，并用定义证明；

②若，求实数的取值范围

Answer 1

【答案】(1) (2) 为上的单增函数；证明见解析；① ②

【解析】

（1）利用解方程法，把看成两个未知数，构造两个方程，从而求得的表达式；

（2）①易得为上的单增函数，再利用定义单调性的三个步骤，即一取、二比、三下的完整步骤进行证明；

②利用换元法，令将不等式转化为，再利用单调性得到，最后求得实数的取值范围.

（1）因为奇函数与偶函数均为定义在上的函数，

所以，

因为，①

所以，

即②

①-②得：，所以；

（2）①为上的单增函数，以下给出证明：

因为，设，则：

因为，所以，，，

所以为上的单增函数；

②设，则，即

即，即，

因为，所以为奇函数，

由，得，又为上的增函数，

所以等价于，即，

所以，解得，即的取值范围为.