Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC₁上的点，且CN=2C₁N．
（Ⅰ）求二面角B₁-AM-N的平面角的余弦值；
（Ⅱ）求点B₁到平面AMN的距离．

Answer 1

分析：（I）由题意及图形因为M是底面BC边上的中点，所以线线垂直进而线面垂直，利用二面角平面角的定义得到二面角的平面角，在△B₁MN中，由余弦定理可以求得；
（II）由题意过B₁在面BCC₁B₁内作直线B₁H⊥MN，又AM⊥平面BCC₁B₁，所以B₁H⊥平面AMN，在三角形中解出B₁H，即可．

解答：解：（Ⅰ）因为M是底面BC边上的中点，
所以AM⊥BC，又AM⊥CC₁，
所以AM⊥面BCC₁B₁，从而AM⊥B₁M，AM⊥NM，
所以∠B₁MN为二面角，B₁-AM-N的平面角．
又B₁M=

B1B2+BM2

=

1+ 1 4

=

5

2

，MN=

MC2+CN2

=

1 4 + 4 9

=

5

6

，

连B₁N，得B₁N=

B1C12+C1N2

=

1+ 1 9

=

10

3

，
得cosB1MN=

B 1M2+MN2-B 1N2

2•B 1M•MN

=

5 4 + 25 36 - 10 9

2× 5 2 × 5 6

=

5

5

．
故所求二面角B₁-AM-N的平面角的余弦值为

5

5

．
（Ⅱ）过B₁在面BCC₁B₁内作直线B₁H⊥MN，H为垂足．又AM⊥平面BCC₁B₁，
所以AM⊥B₁H．于是B₁H⊥平面AMN，故B₁H即为B₁到平面AMN的距离．
在R₁△B₁HM中，B₁H=B₁MsinB1MH=

5

2

×

1- 1 5

=1．
故点B₁到平面AMN的距离为1．

点评：此题重点考查了利用线线垂直进而线面垂直，在利用二面角平面角的定义得到二面角的平面角，及利用余弦定理解出三角形及反三角函数表示角的大小，还考查了线面垂直得到点到面得距离．