练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知抛物线的顶点在坐标原点O，焦点F在x轴正半轴上，倾斜角为锐角的直线l过F点，设直线l与抛物线交于A、B两点，与抛物线的准线交于M点，
    MF
    =λ
    FB
    （λ＞0）
    （1）若λ=1，求直线l斜率
    （2）若点A、B在x轴上的射影分别为A1，B1且|
    B1F
    |，|
    OF
    |，2|
    A1F
    |成等差数列求λ的值
    （3）设已知抛物线为C1：y2=x，将其绕顶点按逆时针方向旋转90°变成C1′．圆C2：x2+（y-4）2=1的圆心为点N．已知点P是抛物线C1′上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C′1于T，S，两点，若过N，P两点的直线l垂直于TS，求直线l的方程．
    依题意设抛物线方程为y2=2px（p＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的斜率为k，k＞0，M的纵坐标为y0，
    则F（
    p
    2
    ，0）准线方程为x=-
    p
    2

    直线l的方程为y=k（x-
    p
    2
    ），M（-
    p
    2
    ，y0），y2＞0
    ∵
    MF
    =λ
    FB
    ，∴（p，-y0）=λ（x2-
    p
    2
    ，y0），故p=λ（x2-
    p
    2
    ）
    （1）若λ=1，由p=λ（x2-
    p
    2
    ），y22=2px2，y2＞0，得x2=
    3p
    2
    ，y2=
    		3
    p，
    ∴B（
    3p
    2
    ，
    		3
    p）
    ∴直线l的斜率k=
    		3
    p
    3p
    2
    -
    p
    2
    =
    		3
    ；
    （2）直线l的方程代入y2=2px，消去y，可得k2x2-（k2p+2p）x+
    k2p2
    4
    =0，则x1x2=
    p2
    4

    ∵x2=
    p
    λ
    +
    p
    2
    ，∴x1=
    p2
    4x2
    =
    λp
    2λ+4

    ∵|
    B1F
    |，|
    OF
    |，2|
    A1F
    |成等差数列
    ∴2|
    OF
    |=|
    B1F
    |+2|
    A1F
    |，
    ∴(x2-
    p
    2
    )+2(
    p
    2
    -x1)=p
    ∴x2-2x1=
    p
    2

    将x2=
    p
    λ
    +
    p
    2
    和x1=
    λp
    2λ+4
    代入上式得
    1
    λ
    =
    λ
    λ+2
    ，∴λ=2；
    （3）设P（x0，x02），S（x1，x12），T（x2，x22），由题意得x0≠0，x0≠±1，x1≠x2．
    设过点P的圆C2的切线方程为y-x02=k（x-x0），即y=kx-kx0+x02．①
    则
    |kx0+4-x02|
    		1+k2
    =1，
    即（x02-1）k2+2x0（4-x02）k+（x02-4）2-1=0．
    设PS，PT的斜率为k1，k2（k1≠k2），则k1，k2是上述方程的两根，所以
    k1+k2=
    2x0(x02-4)
    x02-1
    ，k1k2=
    (x02-4)2-1
    x02-1
    ．
    将①代入y=x2，得x2-kx+kx0-x02=0，
    由于x0是此方程的根，故x1=k1-x0，x2=k2-x0，
    所以kST=
    x12-x22
    x1-x2
    =x1+x2=k1+k2-2x0=
    2x0(x02-4)
    x02-1
    -2x0，kNP=
    x02-4
    x0
    ．
    由MP⊥AB，得kNP•kST=[
    2x0(x02-4)
    x02-1
    -2x0]•
    x02-4
    x0
    =-1，解得x02=
    23
    5
    ，
    即点P的坐标为（±
    23
    5
    ，
    23
    5
    ），所以直线l的方程为y=±
    3
    		115
    115
    x+4    ．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则                       .

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    （本小题满分13分）已知点是椭圆上的一点，,是椭圆的两个焦点,且满足.(Ⅰ)求椭圆的方程及离心率;(Ⅱ)设点,是椭圆上的两点,直线,的倾斜角互补,试判断直线的斜率是否为定值?并说明理由.

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    椭圆C1的焦点在x轴上，中心是坐标原点O，且与椭圆C2：
    x2
    12
    +
    y2
    4
    =1    的离心率相同，长轴长是C2长轴长的一半．A（3，1）为C2上一点，OA交C1于P点，P关于x轴的对称点为Q点，过A作C2的两条互相垂直的动弦AB，AC，分别交C2于B，C两点，如图．

    （1）求椭圆C1的标准方程；
    （2）求Q点坐标；
    （3）求证：B，Q，C三点共线．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，如图，且
    AC
    •
    BC
    =0    ，|BC|=2|AC|．
    （1）求椭圆的方程；
    （2）如果椭圆上两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO，则总存在实数λ，使
    PQ
    =λ
    AB
    ，请给出证明．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    已知动点P（x，y）满足，
    		x2+y2-4x+6y+13
    +
    		x2+y2+6x+4y+13
    =
    		26
    ，则
    y-1
    x-3
    取值范围（　　）
    A．(-∞，
    1
    2
    ]∪[4，+∞)    		B．(-∞，
    1
    4
    ]∪[2+∞)    		C．[
    1
    2
    ，4]    		D．[
    1
    4
    ，2]

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    （文）如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线y2=2x于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．
    （1）求x1x2与y1y2的值；
    （2）求证：OA⊥OB．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知双曲线的两条渐近线方程是y=x和y=-x，且过点D(
    		2
    ，
    		3
    )    ．l1，l2是过点P(-
    		2
    ，0)    的两条互相垂直的直线，且l1，l2与双曲线各有两个交点，分别为A1，B1和A2，B2．
    （1）求双曲线的方程；
    （2）求l1斜率的范围
    （3）若|A1B1|=
    		5
    |A2B2|    ，求l1的方程．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    抛物线y2=2px(p>0)与双曲线有相同焦点F，点A是两曲线交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为                                                                   （ ）
    A．B．C．D．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案