Question

【题目】如图1，在边长为2的菱形中，，将沿对角线折起到的位置，使平面平面，是的中点，平面，且，如图2.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成角的余弦值；

（3）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）（3）线段上不存点，使得平面.见解析

【解析】

（1）平面平面，由面面垂直的性质定理，可证，得出，即可得证结论；

（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即可求解；

（3）利用共线向量，将用坐标表示，根据平面法向量与平面，即可求出结论.

（1）证明：∵，为的中点，∴.

又平面平面，且平面平面，

∴.∵平面，∴，

而平面，平面，∴平面.

（2）解：以所在直线为轴，所在直线为轴，

所在直线为轴建立空间直角坐标系，

如图所示：则，，，

，，

∴，，

设平面的一个法向量为，

则，

取，则.

又平面的一个法向量为，

∴.

则平面与平面所成角的余弦值为.

（3）解：假设在线段上存在，使得平面，

设，则，

∴，，.而.

由，可知不存在，

∴线段上不存点，使得平面.