Question

17．某同学在一次研究性学习中发现，以下5个不等关系式子
 ①$\sqrt{3}$-1＞$2-\sqrt{2}$
②$2-\sqrt{2}$＞$\sqrt{5}-\sqrt{3}$
③$\sqrt{5}-\sqrt{3}$＞$\sqrt{6}-2$
④$\sqrt{6}-2$＞$\sqrt{7}-\sqrt{5}$
⑤$\sqrt{7}-\sqrt{5}$＞$2\sqrt{2}-\sqrt{6}$
（1）上述五个式子有相同的不等关系，分析其结构特点，请你再写出一个类似的不等式
（2）请写出一个更一般的不等式，使以上不等式为它的特殊情况，并证明．

Answer 1

分析 （1）观察分析得到结论；
（2）利用分析法证明即可．

解答 解：（1）$\sqrt{10}-2\sqrt{2}＞\sqrt{11}-3$
（2）$\sqrt{a+2}-\sqrt{a}＞\sqrt{a+3}-\sqrt{a+1}$
证明：要证原不等式，只需证$\sqrt{a+2}+\sqrt{a+1}＞\sqrt{a+3}+\sqrt{a}$
因为不等式两边都大于0
只需证$2a+3+2\sqrt{（a+2）（a+1）}＞2a+3+2\sqrt{a（a+3）}$
只需证$\sqrt{{a^2}+3a+2}＞\sqrt{{a^2}+3a}$
只需证a²+3a+2＞a²+3a
只需证2＞0
显然成立
所以原不等式成立

点评 本题考查归纳推理，考查分析法的运用，属于中档题．