Question

【题目】如图，已知四棱锥，底面为菱形，，, 平面， 分别是的中点。

（1）证明： ；

（2）若为的中点时，与平面所成的角最大，且所成角的正切值为，求点A到平面的距离。

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】试题分析：（1）先利用菱形的对角线的性质和等腰三角形的“三线合一”得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理进行证明；（2）先利用线面角的定义指出线面角，进而确定相关棱长，再利用锥体的体积公式进行求解.

试题解析：（1）由四边形为菱形， ，可得， 为正三角形. 因为M为的中点，所以.

又，因此. 因为平面， 平面，所以.

而，所以平面.

（2）连接、.由（1）可知： 平面.则为与平面所成的角.在中， ，所以当最短时， 最大，

即当时， 最大，此时，

因此,又，所以，于是.

设点A到平面的距离为d，

则由，得，

所以，点A到平面的距离为