Question

（2013•唐山二模）已知动圆C经过点（0，1），且在x轴上截得弦长为2，记该圆圆心的轨迹为E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）过点M(0，

1

2

)的直线m交曲线E于A，B两点，过A，B两点分别作曲线E的切线，两切线交于点C，当△ABC的面积为2

2

时，求直线m的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出动圆圆心坐标，由动圆C经过点（0，1）求出圆的半径，利用圆在x轴上截得弦长为2列式整理即可得到曲线E的方程；
（Ⅱ）设出直线m的方程，设出A，B两点的坐标，求导得到过A，B的抛物线的切线方程，利用抛物线定义求出AB长度，用点到直线距离公式求出C到AB的距离，写出面积后由面积等于2

2

求出直线的斜率，从而求得直线方程．

解答：解：（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为（x，y），则其半径r=

x2+(y-1)2

．
依题意，r²-y²=1，即x²+（y-1）²-y²=1，
整理得曲线E的方程为x²=2y．
（Ⅱ）如图，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁=

1

2

x12，y₂=

1

2

x22．
设直线m方程为y=kx+

1

2

，代入曲线E方程，得
x²-2kx-1=0，则x₁+x₂=2k，x₁x₂=-1．
对y=

1

2

x²求导，得y′=x．
于是过点A的切线为y=x₁（x-x₁）+

1

2

x12，即y=x₁x-

1

2

x12 ①
同理得过点B的切线为y=x₂x-

1

2

x22 ②
设C（x₀，y₀），由①、②及根与系数关系得
x₀=

x1+x2

2

=k，y₀=x₁x₀-

1

2

x12=-

1

2

．
M为抛物线的焦点，y=-

1

2

为抛物线的准线，由抛物线的定义，得
|AB|=y₁+

1

2

+y₂+

1

2

=k（x₁+x₂）+2=2（k²+1）．
点C到直线m的距离d=

|kx0-y0+ 1 2 |

1+k2

=

|k2+ 1 2 + 1 2 |

1+k2

=

k2+1

．
所以△ABC的面积S=

1

2

|AB|•d=（k²+1）

k2+1

．
由已知（k²+1）

k2+1

=2

2

，得k=±1．
故直线m的方程为y=±x+

1

2

．

点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用导数求曲线上某点处的切线方程，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是利用抛物线的定义求解AB的长度，是难题．