Question

已知函数f（x）是定义在实数集R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=ax+lnx，其中a∈R．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间（-∞，-1）上单调减少，求a的取值范围；
（3）试证明对?a∈R，存在ξ∈（1，e），使f′（ξ）=

f(e)-f(1)

e-1

．

Answer 1

分析：（1）先设x∈（-∞，0）则-x∈（0，+∞），再求出f（-x）利用函数是奇函数求出f（x），最后用分段函数表示出函数的解析式；（2）根据函数f（x）是奇函数，若函数f（x）在区间（-∞，-1）上单调减少，当且仅当f（x）在区间（1，+∞）上单调减少，求导，转化为导数小于等于零恒成立，利用分离参数，即可得a的取值范围；（3）求出

f(e)-f(1)

e-1

，和
f′（ξ），解方程即可求得ξ的值，从而证明结论．

解答：解：（1）设x∈（-∞，0），则-x∈（0，+∞），
∴f（-x）=-ax+ln（-x），
又∵f（x）是定义定义在实数集R上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=ax-ln（-x），f（0）=0
∴函数f（x）的解析式为 f(x)=

ax-ln(-x)，x＜0 0            ，x=0 ax+lnx，x＞0

；
（2）函数f（x）是奇函数，若函数f（x）在区间（-∞，-1）上单调减少，当且仅当f（x）在区间（1，+∞）上单调减少，
当x＞0时，f（x）=ax+lnx，f′（x）=a+

1

x

，
由f′（x）=a+

1

x

≤0，得a≤-

1

x

，
-

1

x

在区间（1，+∞）上的取值范围为（-1，0），
所以a的取值范围为（-∞，-1]，
（3）

f(e)-f(1)

e-1

=

ae+1-a

e-1

=a+

1

e-1

，
解f′（ξ）=a+

1

ξ

=a+

1

e-1

，得ξ=e-1，
因为1＜e-1＜e，所以ξ=e-1为所求．

点评：此题是个难题．本题主要考查导数的概念、利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性证明不等式和利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想．