Question

已知直线y=x+b与抛物线y²=2x有两个不同的公共点A、B，O为坐标原点．
（1）求实数b的取值范围；
（2）当b=-2时，①求证OA⊥OB；②计算△AOB的面积．

Answer 1

分析：（1）将直线与抛物线方程联立，利用判别式大于0，即可求实数b的取值范围；
（2）①利用韦达定理，结合数量积公式，即可证明OA⊥OB；
②利用三角形的面积公式，即可计算△AOB的面积．

解答：解：（1）由

y=x+b y2=2x

得，y²-2y+2b=0，由△=4-8b＞0得，b＜

1

2

…（4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），当b=-2时，由（1）知y₁+y₂=2，y₁y₂=-4
①

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

y 2 1 y 2 2

4

+y₁y₂=0，所以OA⊥OB…（7分）
②因为x₁x₂=

y 2 1 y 2 2

4

=4，x₁+x₂=（y₁+2）+（y₁+2）=y₁+y₂+4=6
所以S△OAB=

1

2

|OA||OB|=

1

2

x 2 1 + y 2 1

x 2 2 + y 2 2

=

1

2

x 2 1 +2x1

x 2 2 +2x2

=

1

2

x 2 1 x 2 2 +2x1x2(x1+x2+2)

=2

10

…（10分）

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，考查向量知识的运用，属于中档题．