Question

【题目】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，线段的中点为.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）经过坐标原点的直线与轨迹交于两点，与抛物线交于点（），若，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）（方法一）依题意，设直线的方程为，联立抛物线，然后再根据韦达定理，中点坐标公式求出点坐标，消去参数得，即可求出动点的轨迹方程.

（方法二）利用点差法即可求出动点的轨迹方程.

（2）直线的方程为，方程联立后化为关于的一元二次方程，写出根与系数关系，由弦长公式以及列出关系式，即可求出结果．

（1）依题意，，设直线的方程为

由得，即

设，，则，，

设，则，

消去参数得，动点的轨迹方程为.

（方法二）设，，，则

，，

当时，，即

依题意，，，

所以，，

当时，的中点为也满足上式，

所以，动点的轨迹的方程为.

（2）设直线的方程为

由，得，或，即

由，得，

设，则，，

由，得，

解得，，直线的方程为.