Question

已知关于x的方程x²＋(m＋2)x＋m＝0．

(1)若该方程有一个正根和一个负根，且负根的绝对值较大，求实数m的取值范围．

(2)是否存在实数m，使方程的一个根在区间(0，1)内，另一个根在区间(3，4)内？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：令f(x)＝x²＋(m＋2)x＋m，其图象的对称轴为x＝－．

　　(1)因为方程x²＋(m＋2)x＋m＝0有两个根，所以函数f(x)＝x²＋(m＋2)·x＋m有两个零点，记为x₁，x₂．由题意，不妨设x₁＞0，x₂＜0，且|x₁|＜|x₂|，函数f(x)的图象如图所示，则所以，实数m的取值范围是(－2，0)．

　　(2)假设存在实数m，使方程的一个根在区间(0，1)内，另一个根在区间(3，4)内，即函数f(x)＝x²＋(m＋2)x＋m的两个零点分别在区间(0，1)，(3，4)内，结合函数图象，可得所以不存在这样的实数m．