Question

设椭圆的左右顶点分别为，离心率．过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）求动点C的轨迹E的方程；
（3）设直线AC（C点不同于A，B）与直线交于点R，D为线段RB的中点，试判断直线CD与曲线E的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）;(2) ;(3) 直线与圆相切,证明见解析.

试题分析：（1）要求椭圆的方程,就要知道a,b,由点A知道a=2,由离心率可求得c,由a²=b²+c²进而求出b=1;(2)求动点的轨迹方程,首先设，，利用用C点表示P点坐标,,代入椭圆方程,从而得到动点C的轨迹;(3)直线与圆的位置关系有三种,相交,相切,相离,判断的方法是圆心到直线的距离与半径的关系,如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与⊙O相交d<r；直线l与⊙O相切d=r；直线l与⊙O相离d>r；求出圆心到直线的距离后和半径进行比较,可得直线与圆的位置关系.
试题解析：（1）由题意可得，，
∴，
∴，
∴椭圆的方程为．
（2）设，，由题意得，即，
又，代入得，即．
即动点的轨迹的方程为．
（3）设，点的坐标为，
∵三点共线，
∴，
而，，
则，
∴，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴直线的斜率为，
而，
∴，
∴，
∴直线的方程为，
化简得，
∴圆心到直线的距离，
∴直线与圆相切．