Question

【题目】已知椭圆的两个焦点分别为、，，点在椭圆上，且的周长为

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若点的坐标为，不过原点的直线与椭圆相交于，两点，设线段的中点为，点到直线的距离为，且，，三点共线，求的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）根据焦距和焦点三角形周长可求得，利用求得，从而可得椭圆的方程；（Ⅱ）当直线斜率不存在时，可判断出，，三点不共线，不符合题意；所以可假设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出和；由三点共线得到斜率相等关系，从而可求得；利用弦长公式和点到直线距离公式求得和，代入可整理出：，可知当时取最大值.

（Ⅰ）由题意得：，

解得：，

椭圆的方程为

（Ⅱ）设，

当直线与轴垂直时，由椭圆的对称性可知，点在轴上，且与点不重合

显然，，三点不共线，不符合题设条件

故可设直线的方程

由，消去整理得：……①

则

， 点的坐标为

，，三点共线

此时方程①为：，则

则，

又

当时，的最大值为