Question

（Ⅰ）已知a，b∈R且a＞0，b＞0，求证：

a2

b

+

b2

a

≥a+b；
（Ⅱ）求函数y=

(1-x)2

x

+

x2

1-x

（0＜x＜1）的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）【证法1】：作差比较法，作差再进行因式分解，与0比较即可得到结论；
【证法2】：综合法，利用基本不等式进行专门；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论函数y=

(1-x)2

x

+

x2

1-x

≥（1-x）+x=1，即可求得函数y=

(1-x)2

x

+

x2

1-x

(0＜x＜1)的最小值．

解答：（Ⅰ）【证法1】：∵

a2

b

+

b2

a

-(a+b)=

a3+b3-a2b-ab2

ab

=

a3-a2b-(ab2-b3)

ab

=

a2(a-b)-b2(a-b)

ab

=

(a-b)2(a+b)

ab

∵a＞0，b＞0，∴

(a-b)2(a+b)

ab

≥0，当且仅当a=b时等号成立．
∴

a2

b

+

b2

a

≥a+b
【证法2】：∵a＞0，b＞0，∴(a+b)(

a2

b

+

b2

a

)=a2+b2+

a3

b

+

b3

a

≥a2+b2+2ab=(a+b)2
∴

a2

b

+

b2

a

≥a+b，当且仅当a=b时等号成立．
（Ⅱ）解：∵0＜x＜1，∴1-x＞0，由（Ⅰ）的结论
函数y=

(1-x)2

x

+

x2

1-x

≥（1-x）+x=1，当且仅当1-x=x即x=

1

2

时等号成立，
∴函数y=

(1-x)2

x

+

x2

1-x

(0＜x＜1)的最小值为1．

点评：本题考查不等式的证明，考查利用基本不等式求函数的最值，解题式掌握不等式的证明方法是关键．