Question

已知锐角△ABC中，三个内角为A、B、C，两向量

p

=(2-2sinA)

e

1+(cosA+sinA)

e

2，

q

=(sinA-cosA)

e1

+(1+sinA)

e2

，其中

e1

，

e2

是两个不共线向量．又知

p

与

q

是共线向量．
（1）求∠A的大小；
（2）求函数y=2sin2B+cos(

C-3B

2

)取最大值时，∠B的大小．

Answer 1

分析：（1）根据

p

∥

q

，可得2（1-sinA）（1+sinA）=sin²A-cos²A，化简可得cos2A=-

1

2

，由此求出锐角B的值．
（2）由A=60°，可得 B+C=120°，利用三角函数的恒等变换化简函数y为sin(2B-

π

6

)+1，当2B-

π

6

=

π

2

时，函数y取得最大值，由此求得B的值．

解答：解：（1）∵

p

∥

q

，∴2（1-sinA）（1+sinA）=sin²A-cos²A，
∴2cos²A+cos2A=0，∴1+2cos2A=0，∴cos2A=-

1

2

．
∵0＜2A＜π，∴2A=120°，∴A=60°．  …8
（2）∵A=60°，∴B+C=120°．
故 y=2sin2B+cos(60°-2B)=1-cos2B+

1

2

cos2B+

3

2

sin2B 
=

3

2

sin2B-

1

2

cos2B+1=sin(2B-

π

6

)+1，
∴当2B-

π

6

=

π

2

时，即B=

π

3

 时，函数y取得最大值． …16

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，根据三角函数的值求角，两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，式子的变形，是解题的关键．