Question

已知定点A（0，1），B（0，-1），C（1，0），动点P满足：

AP

•

BP

=k|

PC

|2
（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；
（2）求|

AP

+

BP

|的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据题意，给出向量

AP

、

BP

、

PC

的坐标，由

AP

•

BP

=k|

PC

|2建立关于x、y的方程，化简得（1-k）x²+（1-k）y²+2kx-（k+1）=0．根据k是否等于1讨论，可得方程所表示的曲线类型；
（2）k=2时，点P的轨迹方程为（x-2）²+y²=1，由此化简得|

AP

+

BP

|=2

x2+y2

=2

4x-3

，利用1≤x≤3即可算出|

AP

+

BP

|的取值范围．

解答：解：（1）设动点P（x，y），可得

AP

=(x，y-1)，

BP

=(x，y+1)，

PC

=(1-x，-y)，
∵

AP

•

BP

=k|

PC

|2，
∴x²+y²-1=k（x-1）²+ky²
化简得（1-k）x²+（1-k）y²+2kx-（k+1）=0…4分
①当k=1时，方程为x=1，表示直线；…5分
②当k≠1时，方程为(x-

k

k-1

)2+y2=(

1

k-1

)2，
方程表示(

k

k-1

，0)为圆心、

1

|k-1|

为半径的圆．…7分
（2）当k=2时，点P的轨迹方程为（x-2）²+y²=1，
∴|

AP

+

BP

|=2

x2+y2

将（x-1）²+y²=1化简得x²+y²=4x-3，
∴|

AP

+

BP

|=2

4x-3

，…10分
结合1≤x≤3，可得|

AP

+

BP

|_max=6，|

AP

+

BP

|_min=2
∴|

AP

+

BP

|的取值范围为：2≤|

AP

+

BP

|≤6，…13分

点评：本题给出动点P满足的条件，求P的轨迹方程，并求向量模的取值范围．着重考查了向量的坐标运算、向量数量积的运算性质和动点轨迹方程求法等知识，属于中档题．