Question

【题目】已知函数)记x为的从小到大的第n()个极植点，证明：
（1）数列的等比数列
（2）若则对一切恒成立

Answer 1

【答案】见详解
【解析】（1）求导，可知利用三角函数的知识可得的极植点为即可得证，其中令由得即
对若即则若即则因此，在区间与上的符号总是相反的，于是当时f（x）取得极植所以此时易得f(xn)不等于0而是非零常数。故数列的首项为公比为的等比数列.
（2）分析题意的可知，问题等价于恒成立，构造函数,;利用导数判断其单调性即可得证由（1）知于是对一切恒成立即恒成立，等价于①恒成立，因为（）设g（t）=则令,得t=1
当时因为g（t）在区间（0,1）上单调递减
当时所以g（t）在区间（0,1）上单调递增
从而当t=1时函数g（t）取得最小值g（1）=e因此，要是①恒成立只需即只需而当时且于是且当时因此对这一切,不等于1所以故①恒成立综上所述若则对一切恒成立.
【考点精析】本题主要考查了导数的几何意义和基本求导法则的相关知识点，需要掌握通过图像,我们可以看出当点趋近于时，直线与曲线相切．容易知道，割线的斜率是，当点趋近于时，函数在处的导数就是切线PT的斜率k，即；若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导才能正确解答此题．